Зарегистрировать домен можно двумя способами.

Первый, при покупке хостинга обычно на 6 месяцев или 1 год, вам его зарегистрируют бесплатно представители выбранной вами хостинговой компании.

Или заплатив, приблизительно 20$ + НДС, зарегистрировать самостоятельно, например на сайте www.nic.ru.

Если вы хотите получить домен бесплатно, то регистрируйтесь первым способом, но тут есть одно но: заплатив за хостинг на 1 год и получив бесплатно домен, вы может ещё полгода будете делать свой сайт и деньги будут потрачены впустую. Сам процесс регистрации довольно простой. Например, на www.rbc.ru уже через несколько часов после перечисления денег домен будет ваш. На www.nic.ru процесс регистрации дольше. Здесь, уже, у вас запросят скан паспорта, попросят распечатать с их сайта договор, заполнить его, расписаться и отправить на их адрес почтой или если вы москвич съездить к ним. Только после прихода договора к ним домен станет ваш. Но здесь и на душе спокойней - на руках есть договор. Кстати, на www.rbc.ru тоже можно оформить договор уже после того как домен будет ваш. Так что думайте и выбирайте.

Перед тем, как начать регистрировать домен, заранее подберите хороший домен. Как это сделать описано здесь